الأعداد العقدية/العمليات في مجموعة الأعداد العقدية

العمليات في مجموعة الأعداد العقدية

جميع الخصائص والقواعد الحسابية في $\mathbb {R}$ يمكن تطبيقها على الأعداد العقدية، وهو ما تفيدة النتائج التي سنأتي على ذكرها.

الجمع والجداء

باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب على الجمع في $\mathbb {C}$، نحصل على الخاصية الآتية:

خاصية: الشكل الجبري لمجموع وجداء عددين عقديين

لتكن $x$ و $y$ و $x'$ و $y'$ و $\lambda$ أعدادا حقيقية. لدينا:

${\begin{cases}(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i(y+y')\\(x+iy)(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)\\\lambda (x+iy)=\lambda x+i(\lambda y)\end{cases}}$

ملاحظة

لكل $z$ و $z'$ من $\mathbb {C}$، لدينا: ${\begin{cases}\operatorname {Re} (z+z')=\operatorname {Re} (z)+\operatorname {Re} (z')\\\operatorname {Im} (z+z')=\operatorname {Im} (z)+\operatorname {Im} (z')\end{cases}}$

ولكل $\lambda$ من $\mathbb {R}$ : ${\begin{cases}\operatorname {Re} (\lambda z)=\lambda \operatorname {Re} (z)\\\operatorname {Im} (\lambda z)=\lambda \operatorname {Im} (z)\end{cases}}$

المقابل

خاصية: مقابل عدد عقدي

كل عدد عقدي $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، يقبل مقابلا في $\mathbb {C}$ وهو العدد $-x+i(-y)$ ، ونكتبه $-z=-x-yi$

إذن $\operatorname {Re} (-z)=-\operatorname {Re} (z)$ و $\operatorname {Im} (-z)=-\operatorname {Im} (z)$

الفرق

تعريف

الفرق $z-z'$ لعددين عقديين هو العدد: $z-z'=z+(-z')$

المقلوب

خاصية: مقلوب عدد عقدي غير منعدم

ليكن $z=x+iy$ عددا عقديا غير منعدم، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان مع $x\neq 0$ أو $y\neq 0$ .

مقلوب $z$ هو العدد العقدي $z^{-1}$ أو ${\frac {1}{z}}$ بحيث:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}(x-iy)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

📄 برهنة

ليكن $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، عددا عقديا غير منعدم ($x\neq 0$ أو $y\neq 0$ )

نعلم أن $(x-iy)(x+iy)=x^{2}+y^{2}$ وبما أن $x^{2}+y^{2}\neq 0$ ، فإن: ${\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}(x-iy)(x+iy)=1$

إذن: ${\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}(x-iy)={\frac {1}{(x+iy)}}$ وهو المبتغى.

الخارج

تعريف: خارج عددين عقديين

خارج عدد عقدي $z$ على عدد عقدي غير منعدم $z'$ هو : ${\frac {z}{z'}}=z\times {\frac {1}{z'}}$

خاصية: الشكل الجبري لخارج عددين عقديين

لتكن $x$ و $y$ و $x'$ و $y'$ أعدادا حقيقية حيث $x'+iy'\neq 0$ أي $x'\neq 0$ و $y'\neq 0$ . لدينا:

${\frac {x+iy}{x'+iy'}}={\frac {1}{x'^{2}+y'^{2}}}\left[(xx'+yy')+i(x'y-xy')\right]$

ملاحظة

كما هو الشأن في $\mathbb {R}$ ، فإن لكل عدد عقدي غير منعدم $z$ ولكل $n$ من $\mathbb {Z}$ ، فإن $z^{-n}={\frac {1}{z^{n}}}$ .

وتبقى خاصيات القوى سارية المفعول على الأعداد العقدية.