الاتصال/صورة مجال بدالة متصلة

صورة مجال بدالة متصلة

تذكير: المجال هو جزء $I$ من $\mathbb {R}$ بحيث لكل $x$ و $y$ من $I$ القطعة $[x,y]$ توجد ضمن $I$

مبرهنة

صورة مجال بدالة متصلة هي مجال.

ملاحظات:

• اتصال دالة هو شرط كاف لكي تكون صورة مجال هي مجال، لكن هذا الشرط ليس لازما، إذ يمكن أن تكون صورة مجال بدالة غير متصلة عليه هي أيضا مجال.
• المجالان $I$ و $f(I)$ ليسا دائما من نفس النوع، فصورة المجال نصف المغلق $]-1,2]$ مثلا بالدالة $x\mapsto x^{2}$ هي القطعة $[0,4]$
• إذا كان المجال $I$ قطعة، فإن لدينا الخاصية التالية:

خاصية

صورة قطعة بدالة متصلة هي أيضا قطعة.

مبرهنة القيم الوسيطية

مبرهنة القيم الوسيطية

إذا كانت $f$ دالة متصة على قطعة $[a,b]$ ، فإن لكل عدد حقيقي $\lambda$ محصور بين $m$ و $M$،حيث $M$ القيمة القصوى و $m$ القيمة الدنيا ل $f$ على $[a,b]$ يوجد على الأقل عدد حقيقي $c$ من المجال $[a,b]$ بحيث $f(c)=\lambda$

حالة خاصة لمبرهنة القيم الوسيطية

لازمة

إذا كانت $f$ دالة متصلة على $[a,b]$ و $f(a).f(b)<0$

فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الأقل حلا في المجال $[a,b]$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا $[a,b]$ و $f(a).f(b)<0$

فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا في $]a,b[$