التكامل/تكامل دالة متصلة على قطعة

تكامل دالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مفتوح $I$ و $a$ و $b$ عنصرين من $I$

العدد الحقيقي $F(b)-F(a)$ ، حيث $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ ، يسمى تكامل الدالة $f$ من $a$ إلى $b$ ويُرمز له بالرمز $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يُقرأ كذلك "مجموع $f(x)\,dx$ من $a$ إلى $b$" ونكتب : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

ملاحظة :

في الكتابة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يُكمن تعويض الحرف $x$ بأي حرف آخر.

وبناء عليه، فإن التكاملات $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ و $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ و $\int _{a}^{b}f(u)\,du$ و $\int _{a}^{b}f(y)\,dy$ كلها متساوية.

الخاصيات الجبرية للتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، لدينا لكل $a$ و $b$ و $c$ من $I$ :

• $\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$
• $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$
• $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$ (علاقة شال)

خاصية : الخطانية

لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على مجال $I$ ،

لكل عنصرين $a$ و $b$ من $I$ ولكل عدد حقيقي ثابت $\alpha$ ، لدينا :

• $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx$
• $\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx$

التأويل الهندسي للتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة وموجبة على قطعة $[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.

مساحة الحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ (بوحدة قياس المساحة).