الدوال الأسية/الدالة الأسية للأساس a

الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من $\mathbb {R} ^{+*}\smallsetminus \{1\}$ ، الدالة $\log _{a}$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$

تعريف

الدالة العكسية للدالة $\log _{a}$ تسمى الدالة الأسية للأساس $a$ ويُرمز لها بالرمز $\exp _{a}$

كتابة أخرى للعدد $\exp _{a}(x)$

• لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ ، لدينا :

${\begin{aligned}x=\log _{a}(y)&\iff \exp _{a}(x)=y\\x={\frac {\ln y}{\ln a}}&\iff \exp _{a}(x)=y\\\ln y=x\ln a&\iff \exp _{a}(x)=y\\y=e^{x\ln a}&\iff \exp _{a}(x)=y\end{aligned}}$ إذن $\exp _{a}=e^{x\ln a}$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$

• ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$. لكل $r$ من $\mathbb {Q}$ لدينا $\exp _{a}(r)=e^{r\ln a}=\left(e^{\ln a}\right)^{r}$ أي : $\exp _{a}(r)=a^{r}$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\exp _{a}(x)=a^{x}$

ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^{x}$ اعتبار الحالة $a=1$ فيكون لدينا : $1^{x}=1$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$

خاصيات جبرية للدالة $\exp _{a}$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين قطعا. لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R}$ لدينا :

• $a^{x+y}=a^{x}+a^{y}$
• $a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}$
• $a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}$
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
• $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}$

مشتقة الدالة $\exp _{a}$

خاصية

الدالة $\exp _{a}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $(\exp _{a})'(x)=(\ln a).a^{x}$

ملاحظة : إذا كان $a>1$ فإن الدالة $\exp _{a}$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R}$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $\exp _{a}$ تناقصية قطعا على $\mathbb {R}$

نهايات الدالة $\exp _{a}$

خاصية

إذا كان $a>1$ فإن : $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$ و $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty$

وإذا كان $0<a<1$ فإن : $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=0$