الدوال اللوغاريتمية/دالة اللوغاريتم النيبيري

دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ تقبل دوالا أصلية على $]0,+\infty [$ لأنها متصلة على هذا المجال.

تعريف دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة الأصلية للدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ على المجال $]0,+\infty [$ ، والتي تنعدم في $1$ تسمى دالة اللوغاريتم النيبيري، ويُرمز لها بالرمز $\ln$

لازمة

• مجموعة تعريف الدالة $\ln$ هي $]0,+\infty [$
• $\ln 1=0$
• الدالة $\ln$ متصلة وقابلة للاشتقاق على المجال $]0,+\infty [$ ودالتها المشتقة هي الدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$
• الدالة $\ln$ تزايدية قطعا على $]0,+\infty [$
• الدالة $\ln$ تقابل من المجال $]0,+\infty [$ نحو صورته بهذه الدالة.
• لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : $${\begin{aligned}\ln x=\ln y&\iff x=y\\\ln x>\ln y&\iff x>y\\\ln x>0&\iff x>1\\\ln x<0&\iff 0<x<1\end{aligned}}$$

خاصية أساسية

لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ لدينا : $\ln(xy)=\ln x+\ln y$

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ ولكل $r$ من $\mathbb {Q} ^{*}$ ، لدينا :

$\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\ln x$ و $\ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln x-\ln y$ و $\ln(x^{r})=r\ln x$

ملاحظات :

• إذا كانت $a_{1}$ و $a_{2}$ و ... و $a_{n}$ أعداد حقيقية موجبة قطعا فإن : $\ln \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\ln(a_{i})$
• لكل عددين حقيقيين سالبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : $\ln(xy)=\ln(-x)+\ln(-y)$ و $\ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(-x)-\ln(-y)$ و $\ln(x^{2})=2\ln x$

نهاية $\ln$ عند $+\infty$ وعلى اليمين في صفر

خاصية

• $\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$

خاصية

الدالة $\ln$ تقابل من المجال $]0,+\infty [$ نحو $\mathbb {R}$

نهايات لوغاريتمية أساسية أخرى

خاصية

• $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)=0$
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$
• $\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{n}\ln(x)=0$
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x^{n}}}=0$

العدد $e$

الدالة $\ln$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$ ، إذن المعادلة $\ln(x)=1$ تقبل حلا وحيدا في $\mathbb {R} ^{+*}$ . يُرمز لهذا الحل بالحرف $e$

لدينا إذن : $\ln(e)=1$ و $\ln(x)=1\iff x=e$

نقبل أن العدد $e$ ليس جذريا ($e\notin \mathbb {Q}$) وقيمة مقربة له هي 2.71828

ملاحظة : لكل $r$ من $\mathbb {Q}$ لدينا : $\ln(e^{r})=r$

التمثيل المبياني للدالة $\ln$

لدينا $\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل محور الأراتيب كمُقارب رأسي.

ولدينا $\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل اتجاه محور الأفاصيل كاتجاه مقارب.

منحنى الدالة $\ln$ يمر بالخصوص من النقطتين $A(1,0)$ و $B(e,1)$

المشتقة اللوغاريتمية

خاصية

إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ ولا تنعدم على $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto \ln |u(x)|$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا : $f'(x)={\frac {u'(x)}{u(x)}}$ لكل $x$ من $I$

الدالة ${\frac {u'}{u}}$ تسمى المشتقة اللوغاريتمية للدالة $u$ على المجال $I$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ ولا تنعدم على $I$،

الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto {\frac {u'(x)}{u(x)}}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto \ln |u(x)|+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.