فضاء احتمالي/الاحتمال في فضاء منته - التعداد

الاحتمال في فضاء منته - التعداد

تعريف

في هذه الفقرة، نفترض أن الفضاء الاحتمالي $\Omega$ منتهي. في هذه الحالة، نختار دائما : ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$

تعريف

الاحتمال في فضاء منتهي $\Omega$ هو دالة $\mathbb {P} :{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,1]$ تُحقق الخاصيات التالية :

• $0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1$
• $\mathbb {P} (\Omega )=1$
• إذا كان $A\cap B=\emptyset$ فإن : $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)$

بما أن مجموعة المجموعات الأحادية (بالفرنسية: Singletons، بالإنجليزية: Singletons) $\{\omega \}$ لكل $\omega$ من $\Omega$ هي تجزئة (بالفرنسية: Partition، بالإنجليزية: Partition) منتهية للمجموعة $\Omega$ ، فلدينا الخاصية الأساسية الآتية.

خاصية

نفترض أن $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{n}\}$

الاحتمال $\mathbb {P}$ على $\Omega$ يتميز كليا بالقيم التي يأخذها في المجموعات الأحادية، أي بالأُسرة : $\{p_{\omega _{i}}=\mathbb {P} (\{\omega _{i}\}),\quad \omega _{i}\in \Omega \}$

إذا أخذنا مجموعة $(p_{i})_{1\leq i\leq n}$ من الأعداد الحقيقية، فإنها تقترن باحتمال وحيد $\mathbb {P}$ بحيث لكل $\omega _{i}\in \Omega$ لدينا $p_{i}=\mathbb {P} (\{\omega _{i}\})$ إذا وفقط إذا كان

$0\leq p_{i}\leq 1,\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$

لدينا إذن :

$\forall A\in \mathbb {P} (\Omega ),\quad \mathbb {P} (A)=\sum _{\omega \in A}\mathbb {P} (\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}p_{\omega }$

ملاحظة : المجاميع في المعادلة الأخيرة مجاميع منتهية، لأن $\Omega$ ، وبالتالي $A$ ، ذو أصلي (أو رئيسي) (بالفرنسية: Cardinal، بالإنجليزية: Cardinal) منته.

📄 برهنة

(غير متوفرة حاليا)

مثال : قانون برنولي (أو توزيع برنولي) (بالفرنسية: Loi de Bernoulli، بالإنجليزية: Bernoulli distribution) ذو المعامل $p\in [0,1]$

يحتوى الفضاء $\Omega$ على عُنصرين : $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ و $p_{\omega _{1}}=p\quad ;p_{\omega _{2}}=1-p\quad$

يُستعمل هذا الاحتمال بالخصوص في احتمال سقوط قطعة نقدية على الوجه الذي يحمل الكتابة الذيل $P$ (أو الصورة الرأس $F$).

التوزيع المنتظم

التوزيع المنتظم المتقطع (أو الاحتمال المنتظم) (بالفرنسية: Loi uniforme discrète، بالإنجليزية: Discrete uniform distribution) هو من أهم أمثلة الاحتمال في فضاء حوادث $\Omega$ منته. في هذا التوزيع يكون لكل مجموعة أُحادية من $\Omega$ نفس احتمال التحقق.

تعريف

نقول أن الاحتمال $\mathbb {P}$ في الفضاء المنتهي $\Omega$ منتظما إذا كان $p_{\omega }=\mathbb {P} (\{\omega \})$ مُستقلا عن $\omega$

لدينا إذن لكل $\omega$ :

$p_{\omega }={\frac {1}{\mathrm {card} (\Omega )}}$

حيث يُمثل $\mathrm {card} (\Omega )$ أصلي (بالفرنسية: Cardinal، بالإنجليزية: Cardinal) المجموعة $\Omega$ ، أي عدد عناصرها.

إذا كان $\mathbb {P}$ احتمالا منتظما، فإننا نستنتج أن

$\mathbb {P} (A)={\frac {\mathrm {card} (A)}{\mathrm {card} (\Omega )}}$

بحيث يُمثل الاحتمال في هذه الحالة تِعدادا (بالفرنسية: Dénombrement، بالإنجليزية: Enumeration) : نحن هنا في إطار الحساب التوافيقي (بالفرنسية: Combinatoire، بالإنجليزية: Combinatorics).

ملاحظتان :

• في فضاء منته $\Omega$ ، يوجد احتمال منتظم وحيد.
• الاحتمال المنتظم يصف رياضيا المفهوم الحدسي للحظ : سحب بطاقة عشوائية، رمي نرد، اختيار عينة عشوائية من مجتمع (بالفرنسية: Population، بالإنجليزية: Population).

نماذج السحب

عند حساب الاحتمالات المنتظمة، من الضروري جدا توضيح الفضاء الاحتمالي المُرتبط به. سنرى أهمية هذه الملاحظة في الفقرة الحالية، حيث سنطرح نماذج سحب الكرات من صندوق.

هذه النماذج لها تطبيقات عديدة. على سبيل المثال : سحب عينات من مجتمع عربي للقيام باستفتاء حول آراء سياسية.

النموذج العام هو التالي : يحتوي صندوق على $N$ كرة ذوات $k$ لون، موزعة عن $N_{1}$ كرة ذات اللون $1$ ، $N_{2}$ كرة ذات اللون $2$ ، ... ، $N_{k}$ كرة ذات اللون $k$ . نُسمي $p_{i}={\tfrac {N_{i}}{N}}$ نسبة الكرات ذات اللون $i$ .

نسحب عشوائيا $n$ كرة من الصندوق $(n\leq N)$. الهدف هو تحديد توزيع الألوان في العينة المُختارة.

نرمز بـ $P_{n_{1}n_{2}...n_{k}}$ إلى احتمال الحصول على $n_{1}$ كرة ذات اللون $1$ ، $n_{2}$ كرة ذات اللون $2$ ، ... ، $n_{k}$ كرة ذات اللون $k$ ، بحيث $n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}=n$

نعتبر ثلاث طرق في سحب الكرات. كل طريقة في السحب ستُعطِي طريقة حساب للاحتمال مختلفة ونتائج مختلفة :

• السحب بإحلال، أو السحب بإرجاع (بالفرنسية: Tirage avec remise، بالإنجليزية: Draw with replacement)
• السحب بدون إحلال، أو السحب بدون إرجاع (بالفرنسية: Tirage sans remise، بالإنجليزية: Draw without replacement)
• السحب الآني، أو السحب تآنيا (بالفرنسية: Tirage simultané، بالإنجليزية: Simultaneous draw)

ملاحظة : في كل جمع للبيانات الإحصائية، تُطرح دائما مسألة\إشكالية طريقة سحب العينة.

السحب الآني - التوزيع الفوق هندسي

نسحب جميع الكرات في آن واحد.

السحب بإرجاع - التوزيع ثنائي الحدين

نسحب الكرات الواحدة تلو الأخرى. نُعيد الكرة المختارة قبل سحب الكرة التالية.

السحب بدون إرجاع

نسحب الكرات الواحدة تلو الأخرى، دون إرجاعها إلى الصندوق.

حالة صندوق عدد كراته لا منتهي

نعتبر نفس فرضيات السحب الآني. نفترض أن عدد الألوان يساوي $2$.