نأخذ كمثال دالة المربع
x
2
{\displaystyle x^{2}}
المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بكاملها.
كلما كبر
x
{\displaystyle x}
فان
x
2
{\displaystyle x^{2}}
يصبح أكبر كذلك و نقول أن الدالة تؤول نحو الزائد لانهاية عندما يؤول
x
{\displaystyle x}
نحو زائد لانهاية نفس الشيء عندما يؤول إلى ناقص لانهاية .
lim
x
→
+
∞
x
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{x^{2}}=+\infty }
و
lim
x
→
−
∞
x
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{2}}=+\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
{\displaystyle f}
تؤول نحو زائد لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:
∀
M
>
0
,
∃
N
>
0
,
∀
x
∈
D
,
x
>
N
,
f
(
x
)
>
M
{\displaystyle \forall M>0,\exists N>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>N,f(x)>M}
f
{\displaystyle f}
تؤول نحو زائد لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:
∀
M
>
0
,
∃
N
<
0
,
∀
x
∈
D
,
x
<
N
,
f
(
x
)
>
M
{\displaystyle \forall M>0,\exists N<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<N,f(x)>M}
دالة المربع
−
∞
{\displaystyle -\infty }
f
{\displaystyle f}
تؤول نحو ناقص لانهاية عند زائد لانهاية إذا وفقط إذا:
∀
M
<
0
,
∃
N
>
0
,
∀
x
∈
D
,
x
>
N
,
f
(
x
)
<
M
{\displaystyle \forall M<0,\exists N>0,\forall x\in {\mathcal {D}},x>N,f(x)<M}
f
{\displaystyle f}
تؤول نحو ناقص لانهاية عند ناقص لانهاية إذا وفقط إذا:
∀
M
<
0
,
∃
N
<
0
,
∀
x
∈
D
,
x
<
N
,
f
(
x
)
<
M
{\displaystyle \forall M<0,\exists N<0,\forall x\in {\mathcal {D}},x<N,f(x)<M}