قالب:النهاية المنتهية عند نقطة/العرض

مثال للفهم

النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة $f(x)$ تقبل نهاية $l$ عند $a$ يعني: أن الدالة $f(x)$ تقترب من نهايتها $l$ كلما اقترب المتغير من $a$ بتعبير رياضي نقول :
عندما يؤول $x$ نحو $a$ فإن $f(x)$ تؤول نحو $l$ . ونكتب $\lim _{x\to a}f(x)=l$

مثال: $\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}=1$

التعريف بالمكممات

يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:

كلما اقترب $x$ من $p$ بفرق قيمته المطلقة أقل من $\delta$ فان $f(x)$ تقترب من $l$ و تكون القيمة المطلقة للفرق بينهما أصغر من$\varepsilon$

الدالة $f$ تقبل نهاية $l$ عند $p$إذا و فقط إذا:
$\forall \varepsilon >0,\exists \delta _{\varepsilon }>0,\forall x\in ]p-\delta _{\varepsilon },p+\delta _{\varepsilon }[\cap {\mathcal {D}},~|f(x)-l|\leq \varepsilon$
$\varepsilon$ عدد صغير جدا
$\delta$ عدد صغير جدا