مخطط الجسم الحر

يعتبر رسم مخطط الجسم الحر الخطوة الأولى لحل مسائل علم السكون. ومن السهل حدوث خطأ ما في رسم مخطط الجسم الحر، فهو تحليل أولي للمسألة وهو الخطوة الأولى في كتابة معادلات التوازن.

احرص على رسم صحيح للمخطط، فإن كانت نتائجك أو معادلاتك غير مفيدة، عد إلى المخطط وحاول اكتشاف الخطأ فيه.

مثال توضيحي 1

الشكل 1

الشكل 2

يمثل الشكل (1) جانبا كتلتين (m₁ و m₂) موضوعتين على سطح مائل بزاوية $\alpha$. برسم مخطط الجسم الحر للكتلتين نحصل على الشكل (2).

تؤثر على الكتلة m₁ قوة الثقل الشاقولية وتساوي m₁.g حيث g تسارع الجاذبية الأرضية. كما تتأثر بقوة رد الفعل الناظمية N₁ وقوة الاحتكاك µN₁. وقوة الاحتكاك هذه تمنع انزلاق الكتلة m₁ من فوق الكتلة m₂.

تؤثر على الكتلة m₂ قوة الثقل الشاقولية وتساوي m₂.g . كما تتأثر بقوة رد الفعل الناظمية N₁ وقوة الاحتكاك µN₁. ومن الجهة الأخرى قوة رد الفعل الناظمية N₂ الناتجة عن السطح المائل وقوة الاحتكاك µN₂ معه.

إن اعتبار الأجسام السابقة ساكنة يعني في الحقيقة أن القوى المؤثرة عليها تفنى فيما بينها، أي أن محصلة هذه القوى معدومة. لنطبق إذا معادلات التوازن. هنا يجب أن نسقط القوى على جملة إحداثية ديكارتية مثلا. واختيار جملة الإحداثيات أيضا يعتبر مفتاح الحل في هذا النوع من المسائل، كما يعبر عن بديهة الطالب وفهمه للنظام المدروس.

دراسة توازن الكتلة m₁

بإسقاط القوى على الجملة الإحداثية X₁,Y₁ نحصل على المعادلتين التاليتين:

$N_{1}.sin\alpha -\mu .N_{1}.cos\alpha =0$

$\mu .N_{1}.sin\alpha -m_{1}.g+N_{1}.cos\alpha =0$

وبإسقاط القوى على الجملة الإحداثية X₂,Y₂ نحصل على المعادلتين التاليتين:

$m_{1}.g.sin\alpha -\mu .N_{1}.cos\alpha =0$

$N_{1}-m_{1}.g.cos\alpha =0$

يجب الانتباه إلى أن الإشارة السالبة الموجودة في المعادلات تعني أن اتجاه مسقط القوة على المحور تعاكس اتجاهه. نلاحظ أيضا أن المعادلات الناتجة عن الإسقاط على الجملة الإحداثية الثانية، مختصرة على وجه أفضل. ويمكن الحصول مباشرة على N₁ من المعادلة:

$N_{1}=m_{1}.g.cos\alpha$

دراسة توازن الكتلة m₂

بإسقاط القوى على الجملة الإحداثية X₂,Y₂ نحصل على المعادلتين التاليتين:

$\mu .N_{1}-\mu .N_{2}+N_{2}.cos\alpha -N_{1}.cos\alpha +m_{2}.g.sin\alpha =0$

$N_{2}-N_{1}-m_{2}.g.cos\alpha =0$

في حال دراسة توازن الكتلة m₂ فقط، عندها يجب علينا حل المعادلتين السابقتين حلا مشتركا للحصول على قيم N₁ و N₂، بينما يمكننا الحصول على قيمة N₁ مباشرة وبطريقة أبسط بدراسة توازن الكتلة m₁ أولا.

مثال توضيحي 2

في نظام البكرات، وبإهمال الاحتكاك، يكون الحمل موزعا بالتساوي على طرفي الحبل الحامل للبكرة.

• 
  مثال (1) توزع الحمل بالتساوي على طرفي البكرة.
• 
  مثال (2) فإذا كان الحمل مساويا 1 نيوتن مثلا، يكون الحمل على طرفي البكرة مساويا 1/2.
• 
  مثال (3) وفي حالة عدة بكرات يكون الحمل موزعا كما في الشكل!
• 
  مثال (4)
• 
  مثال (5)
• 
  مثال (6)

مثال توضيحي 3

نظام البكرة مع الثقل

مخطط الجسم الحر لنظام البكرة مع الثقل

ليكن لدينا نظام البكرة مع الثقل المعلق بها، والموضح في الشكل جانبا. لاحظ في مخطط الجسم الحر الخاص بهذا النظام أن القوة المطبقة على الحبل تمتد بشكل متساوي على طرفي البكرة، ومع هذا فإن النظام يعاني من مشكلة ما. فالقوة المؤثرة يسارا عندما تتحلل إلى مركبتين وفق الإحداثيات الديكارتية X و Y، لتضاف إلى مركبات القوى الأخرى نحصل على نظام غير متوازن. ولكي يصل النظام إلى التوازن يجب على الثقل أن ينزاح إلى اليسار قليلا حتى نحصل على قوة تعدل المركبة الأفقية من جهة اليمين. إذن المخطط ليس في حالة توازن سكوني، وبالتالي لا يمكن دراسته باستخدام الطرق المعروفة في علم السكون التي تفترض أن الجسم الممثل في مخطط الجسم الحر هو في حالة توازن سكوني (لا يتحرك).