منطق رياضي

منطق رياضي
صنف فرعي من	علم المنطق
التصنيف الرئيس للموضوع	تصنيف:منطق رياضي
في قائمة تركيز مشروع ويكيميديا	Wikipedia:Vital articles/Level/4
يزاولها	منطقي
جزء من	رياضيات ، Mathematical logic, set theory, lattices and universal algebra و علم المنطق
تسجيل مرئي
يستخدمه	برهان رياضي
ممثلة بـ	مكَمِّم
القالب الرئيس للموضوع	قالب:منطق رياضي
تصنيف كومنز	Mathematical logic
نموذج من	مجالات الرياضيات و نظرية رياضية
مَوصُوف في المصدر	الموسوعة السوفيتية الكبرى و الموسوعة السوفيتية الكبرى
الصورة

مقدمة

إن لغتنا الاعتيادية ليست واضحة دائما كفاية، فمثلا في المطعم، "اختيار جبن أو تحلية" يُقصد به اختيار أحدهما فقط، لكن في لعبة الورق إذا كنا نبحث عن "آس أو قلب" لا يجب استثناء "آس القلب": نحتاج إلى لغة أكثر دقة.

نقول غالبا بأن دالة ما هي متصلة (مستمِرة) إذا استطعنا أن نرسم منحناها البياني دون رفع القلم عن الورقة وهذا تعريف غير كاف، إليك التعريف الدقيق لدالة $f:I\to \mathbb {R}$ متصلة (مستمِرة) في نقطة $a$:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in I\quad \left(|x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \right)$

أحد أهداف المنطق هو إيضاح معنى هذه الكتابة، هدف آخر هو تمييز الصحيح من الخطإ، فمثلا: هل زيادة ٪20 وبعد ذلك ٪30 أهم من زيادة ٪50؟ لا يتعلق الأمر إذن بمجرد آراء ولكن بالقدرة على عمل منهج منطقي من أجل الاقتناع وإقناع الآخرين، هذا المنهج هو ما يُسمى الاستدلال.

العبارة

العبارة هي جملة صحيحة أو خاطئة ولا تكون صحيحة وخاطئة في آن واحد. أمثلة: "إنها تمطر"، "أنا أكبر منك"، هذه كلها جمل يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة.

العبارة التالية $2+2=4$ صحيحة في حين أن العبارة $2\times 3=7$ خاطئة.

لكل عدد حقيقي $x$ لدينا $x^{2}\geq 0$ هي عبارة صحيحة،
بينما العبارة: لكل عدد عقدي $z$ لدينا $|z|=1$ خاطئة لأنه ليس صحيحا لكل الأعداد العقدية أن $|z|=1$.

العطف المنطقي

انطلاقا من عبارة "P" وعبارة "Q"،نعرف العبارة "Q وP" والتي تكون صحيحة فقط في حالة "P" و"Q" صحيحتين معا. هناك طريقة أخرى لتعريف العبارة "Q وP" وهي بقول ما إذا كانت صحيحة أو خاطئة بدلالة "P" و"Q"، وهذا ما يُسمى جدول حقيقة:

جدول حقيقة العبارة "Q وP"

العبارة $P$	العبارة $Q$	العبارة $P\land Q$
صحيحة	صحيحة	صحيحة
صحيحة	خاطئة	خاطئة
خاطئة	صحيحة	خاطئة
خاطئة	خاطئة	خاطئة

مثلا إذا كانت $P$ هي العبارة: "هذه البطاقة هي آس": و$Q$ هي العبارة: "هذه البطاقة هي قلب"، فإن العبارة $P\land Q$ ستكون صحيحة إذاكانت البطاقة هي "آس القلب"، ولجميع البطاقات الأخرى ستكون العبارة $P\land Q$ خاطئة.

الفصل المنطقي

تكون العبارة "Q أو P" صحيحة عندما تكون إحدى العبارتين "P" أو "Q" على الأقل صحيحة. وتكون خاطئة في حالة "P" و "Q" خاطئتين معا. جدول حقيقة العبارة "Q أو P" هو التالي:

جدول حقيقة العبارة "Q أو P"

العبارة $P$	العبارة $Q$	العبارة $P\lor Q$
صحيحة	صحيحة	صحيحة
صحيحة	خاطئة	صحيحة
خاطئة	صحيحة	صحيحة
خاطئة	خاطئة	خاطئة

بالنسبة للمثال السابق، تكون العبارة $P\lor Q$ صحيحة إذا كانت البطاقة "آس" أو "قلب" أو "آس وقلب"، ولكل البطاقات الأخرى فإن العبارة $P\lor Q$ خاطئة. عموما الفصل المنطقي ليس هو الفصل في الحياة العامة مثلا "اختيار جبن أو تحلية" تعني اختيار أحدهما فقط، دون الجمع بينهما.