الأعداد العقدية/الأشكال المثلثية لعدد عقدي غير منعدم

الأشكال المثلثية لعدد عقدي غير منعدم

عمدة عدد عقدي معياره الوحدة

تعريف

ليكن $u$ عددا عقديا معياره $1$ : $|u|=1$ .

كل عدد حقيقي $\theta$ بحيث $u=\cos \theta +i\sin \theta$ يُسمى عمدة $u$ (بالفرنسية: Argument، بالإنجليزية: Argument)، ويُرمز له بالرمز $\arg(u)$

خاصية

ليكن $u$ عددا عقديا معياره $1$ : $|u|=1$ .

كل عمدة للعدد العقدي $u$ هو قياس بالراديان للزاوية الموجهة $({\widehat {{\vec {I}},{\overrightarrow {OP}}}})$ حيث $P$ هي النقطة الصورة للعدد العقدي $u$ في المستوى العقدي.

عمدة عدد عقدي غير منعدم

تعريف

عمدة العدد العقدي غير المنعدم $z$ هي عمدة العدد ${\frac {z}{|z|}}$ ، ويُكتب أيضا: $\arg(z)$

وهي أيضا إحدى قياسات الزاوية الموجهة $({\widehat {{\vec {I}},{\overrightarrow {OM}}}})$ حيث : $M(z)$

ملاحظات

• $0$ هو العدد الوحيد الذي ليس له عمدة.
• كل عدد عقدي غير منعدم $z$ يقبل ما لا نهاية له من الأعداد الحقيقية عمدة له: إذا كان $\theta$ عمدة للعدد العقدي $z$ ، فإن $\theta +k(2\pi )$ لكل عدد صحيح نسبي $k$ ، هو عمدة كذلك للعدد $z$ : $\arg(z)\equiv \theta \left[2\pi \right]$ .

شكل مثلثي لعدد عقدي غير منعدم

تعريف: المعلمة القطبية

كل نقطة $M$ مخالفة لـ $O$ محددة تمام التحديد بالمسافة $OM=r$ وبقياس $\theta$ للزاوية $({\widehat {{\vec {I}},{\overrightarrow {OM}}}})$ ،

الزوج $(r,\theta )$ يسمى زوج الإحداثيتين القطبيتين (بالفرنسية: Coordonnées polaires، بالإنجليزية: Polar coordinates) لـ $M$ بالنسبة للمحور القطبي $(O,{\vec {I}})$، و $O$ تسمى القطب.

مثال: إذا كانت $A$ هي النقطة التي زوج إحداثيتيها الديكارتيتين هو $(-1,1)$ في المعلم $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$ ، فإن زوج الإحداثيتين القطبيتين للنقطة $A$ بالنسبة للمحور القطبي $(O,{\vec {I}})$ هو $\left({\sqrt {2}},{\frac {3\pi }{4}}\right)$.

خاصية

إذا كانت $M$ نقطة مخالفة لـ $O$ وكان $(x,y)$ هو زوج الإحداثيتين الديكارتيين للنقطة $M$ في المعلم $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$ ، وكان $(r,\theta )$ زوج الإحداثيتين القطبيتين للنقطة في $(O,{\vec {I}})$ كمحور قطبي،

فإن : $x=r\cos \theta$ و $y=r\sin \theta$

خاصية

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم شكله الجبري هو $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، وليكن $\theta$ عمدة للعدد العقدي $z$ ،

لدينا: $x=|z|\cos \theta$ و $y=|z|\sin \theta$

مبرهنة

كل عدد عقدي غير منعدم $z$ يمكن كتابته : $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ ، حيث $\theta$ عمدة للعدد $z$ .

تعريف: الشكل المثلثي لعدد عقدي غير منعدم

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم. كل كتابة من النوع $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ ، حيث $\theta$ عمدة للعدد $z$، تسمى شكلا مثلثيا للعدد العقدي $z$.

ملاحظة: عدد عقدي غير منعدم معلوم يقبل ما لا نهاية من الأشكال المثلثية.

تعليق: $z=|z|(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))$

مبرهنة

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم.

إذا كان $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ ، حيث $r\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ و $\theta \in \mathbb {R}$

فإن : $|z|=r$ و $\theta \equiv \arg(z)\left[2\pi \right]$

خاصية

ليكن $z$ و $z'$ عددين عقديين غير منعدمين. لدينا: $z=z'\iff {\begin{cases}|z|=|z'|\\\arg(z)\equiv \arg(z')\left[2\pi \right]\end{cases}}$

خاصيات العمدة

خاصية

لكل عدد عقدي غير منعدم $z$، لدينا: $\arg(z')\equiv \arg(z)\left[2\pi \right]$ و $\arg(-z)\equiv \pi +\arg(z)\left[2\pi \right]$

خاصية

• لكل عددين عقديين غير منعدمين $z$ و $t$ ، لدينا : $\arg(zt)\equiv \arg(z)+\arg(t)\left[2\pi \right]$
• لكل عددين حقيقيين $\theta$ و $\varphi$ ، لدينا : $(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \varphi +i\sin \varphi )=\cos(\theta +\varphi )+i\sin(\theta +\varphi )$

خاصية

• لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}$ ، ولكل $z_{1}$ و $z_{2}$ و ... و $z_{n}$ من $\mathbb {C} ^{*}$، لدينا: $\arg(z_{1}z_{2}...z_{n})\equiv \arg(z_{1})+\arg(z_{2})+...+\arg(z_{n})\left[2\pi \right]$ أي : $\arg \left(\prod _{k=1}^{n}z_{k}\right)\equiv \sum _{k=1}^{n}\arg(z_{k})\left[2\pi \right]$
• لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}$ ، ولكل $\theta _{1}$ و $\theta _{2}$ و ... و $\theta _{n}$ من $\mathbb {R}$، لدينا:

$(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})...(\cos \theta _{n}+i\sin \theta _{n})=\cos(\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{n})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{n})$

أي بشكل آخر: $\prod _{k=1}^{n}(\cos \theta _{k}+i\sin \theta _{k})=\cos \left(\sum _{k=1}^{n}\theta _{k}\right)+i\sin \left(\sum _{k=1}^{n}\theta _{k}\right)$

• لكل عددين عقديين غير منعدمين $z$ و $t$ ، لدينا : $\arg \left({\frac {1}{z}}\right)\equiv -\arg(z)\left[2\pi \right]$ و $\arg \left({\frac {z}{t}}\right)\equiv \arg(z)-\arg(t)\left[2\pi \right]$
• لكل $z$ من $\mathbb {C} ^{*}$ و $\theta$ من $\mathbb {R}$ و $n$ من $\mathbb {Z}$، لدينا : $\arg(z^{n})\equiv n\arg(z)\left[2\pi \right]$
• صيغة مواڤر (بالفرنسية: Formule de Moivre، بالإنجليزية: De Moivre's formula): $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )$

زاوية متجهتين وعمدة عدد عقدي

نعتبر أن المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$.

خاصية

لتكن ${\vec {u}}$ و ${\vec {v}}$ متجهتين غير منعدمتين لحقاهما على التوالي $z$ و $t$.

ولتكن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ نقطا ألحاقها على التوالي $z_{A}$ و $z_{B}$ و $z_{C}$ و $z_{D}$ بحيث $A\neq B$ و $C\neq D$.

لدينا:

• ${\overline {({\vec {I}},{\vec {u}})}}\equiv \arg(z)\left[2\pi \right]$ و ${\overline {({\vec {I}},{\overrightarrow {AB}})}}\equiv \arg(z_{B}-z_{A})\left[2\pi \right]$ (عمدة لحق ${\overrightarrow {AB}}$ )
• ${\overline {({\vec {u}},{\vec {v}})}}\equiv \arg \left({\frac {t}{z}}\right)\left[2\pi \right]$ و ${\overline {({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CD}})}}\equiv \arg \left({\frac {z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}}\right)\left[2\pi \right]$

خاصية

لتكن ${\vec {u}}$ و ${\vec {v}}$ متجهتين غير منعدمتين لحقاهما على التوالي $z$ و $t$.

ولتكن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ نقطا مختلفة مثنى مثنى ألحاقها على التوالي $z_{A}$ و $z_{B}$ و $z_{C}$ و $z_{D}$.

لدينا:

• تكون ${\vec {u}}$ و ${\vec {v}}$ مستقيميتين إذا وفقط إذا كان $\arg \left({\frac {t}{z}}\right)\equiv 0\left[\pi \right]$ (أي ${\frac {t}{z}}\in \mathbb {R}$)، و $(AB)//(CD)\iff \arg \left({\frac {z_{D}-z_{C}}{z_{A}-z_{B}}}\right)\equiv 0\left[\pi \right]$
• ${\vec {u}}\perp {\vec {v}}\iff \arg \left({\frac {t}{z}}\right)\equiv {\frac {\pi }{2}}\left[\pi \right]$ و $(AB)\perp (CD)\iff \arg \left({\frac {z_{D}-z_{C}}{z_{A}-z_{B}}}\right)\equiv {\frac {\pi }{2}}\left[\pi \right]$
• تكون النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ مستقيمية أو متداورة (تنتمي إلى نفس الدائرة) إذا وفقط إذا كان : $\left({\frac {z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}},{\frac {z_{C}-z_{D}}{z_{B}-z_{D}}}\right)\in \mathbb {R}$

الترميز الأسي لعدد عقدي غير منعدم

تعريف

لكل عدد حقيقي $\theta$، نرمز بالرمز $e^{i\theta }$ للعدد العقدي الذي معياره $1$ وعمدته $\theta$ ، أي $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

خاصية

لكل عددين حقيقين $\theta$ و $\varphi$ لدينا:

• $e^{i(\theta +\varphi )}=e^{i\theta }\times e^{i\varphi }$
• $e^{-i\theta }={\overline {e^{i\theta }}}={\frac {1}{e^{i\theta }}}=\cos \theta -i\sin \theta$
• ${\frac {e^{i\theta }}{e^{i\varphi }}}=e^{i(\theta -\varphi )}$
• $\forall n\in \mathbb {Z} ,\;\left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta }$ . وهي صيغة مواڤر.

مبرهنة

كل عدد عقدي غير منعدم يمكن كتابته على شكل $z=|z|e^{i\theta }$ حيث $\theta$ عمدة للعدد $z$.

تعريف

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم. كل كتابة من النوع $z=|z|e^{i\theta }$ تسمى كتابة أسية للعدد $z$.

خاصية

لكل عدد حقيقي $x$ لدينا: $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ و $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

تطبيقات الأعداد العقدية في الحساب المثلثي

حساب cos(nx) و sin(nx) بدلالة cos(x) و sin(x)

يعتمد حساب $\cos(nx)$ و $\sin(nx)$ (حيث $x\in \mathbb {R}$ و $n\in \mathbb {N}$ و $n\geq 2$) بدلالة $\cos x$ و $\sin x$ على صيغة مواڤر وصيغة الحدانية والعلاقة الأساسية $\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$ . لدينا:

$\cos(nx)=\operatorname {Re} \left((\cos x+i\sin x)^{n}\right)$ و $\sin(nx)=\operatorname {Im} \left((\cos x+i\sin x)^{n}\right)$

إخطاط الحدوديات المثلثية

تعريف

إخطاط (بالفرنسية: Linéarisation، بالإنجليزية: Linearization) تعبير من النوع $\cos ^{n}x$ أو $\sin ^{m}x$ أو $\cos ^{n}(x)\sin ^{m}(x)$ ، حيث $n$ و $m$ عددان صحيحان طبيعيان غير منعدمين، هو تحويل هذه الجداءات إلى مجموع جبري لحدود من النوع $a\cos(px)+b\sin(qx)$ ، حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان، و $p$ و $q$ عددان صحيحان طبيعيان.