الأعداد العقدية/الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم

الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم

الجذور من الرتبة n للوحدة

تعريف

ليكن $n\in \mathbb {N} -\{0,1\}$ ، نقول إن عددا عقديا $u$ جذر من الرتبة $n$ (بالفرنسية: Racine n-ième، بالإنجليزية: Nth root) للوحدة (أي للعدد $1$) إذا وفقط إذا كان $u^{n}=1$ .

يُرمز لمجموعة الجذور من الرتبة $n$ للوحدة بالرمز $\mathbb {U} _{n}$ : $\mathbb {U} _{n}=\{u\in \mathbb {C} ,\;u^{n}=1\}$

ملاحظة: الجذور من الرتبة $n$ للوحدة هي حلول المعادلة $z^{n}=1$ في $\mathbb {C}$.

مبرهنة

الجذور من الرتبة $n$ للوحدة عددها $n$ ، وهي الأعداد العقدية التي تكتب على شكل $e^{ik{\frac {2\pi }{n}}}$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي و $0\leq k\leq n-1$ .

بتعبير آخر: $\mathbb {U} _{n}=\left\{e^{ik{\frac {2\pi }{n}}},\;k\in \mathbb {N} {\text{ و }}0\leq k\leq n-1\right\}$ و $\operatorname {card} \mathbb {U} _{n}=n$

خاصية

لكل عنصرين $u$ و $v$ من $\mathbb {U} _{n}$ :

$uv\in \mathbb {U} _{n}$ و ${\frac {1}{u}}\in \mathbb {U} _{n}$

ملاحظة: إذا وضعنا $\omega _{k}=e^{ik{\frac {2\pi }{n}}}$ فإن : ${\frac {1}{\omega _{k}}}={\overline {\omega _{k}}}=\omega _{n-k}$

خاصية

ليكن $n\in \mathbb {N}$ و $n\geq 2$. لكل $k$ من $\{0,1,...,n-1\}$، نضع : $\omega _{k}=e^{ik{\frac {2\pi }{n}}}=\omega _{1}^{k}$

لكل عدد صحيح نسبي $m$ نضع : $S(m)=(\omega _{0})^{m}+(\omega _{1})^{m}+...+(\omega _{n-1})^{m}$

• إذا كان $m$ غير قابل للقسمة على $n$ ، فإن : $S(m)=0$
• إذا كان $m$ قابلا للقسمة على $n$ ، فإن : $S(m)=n$

بصفة خاصة: مجموع الجذور من الرتبة $n$ للوحدة منعدم.

خاصية

ليكن $n\in \mathbb {N}$ و $n\geq 2$. لكل $k$ من $\{0,1,...,n-1\}$، نضع : $\omega _{k}=e^{ik{\frac {2\pi }{n}}}=\omega _{1}^{k}$ ، ولتكن $M_{k}$ النقطة التي لحقها $\omega _{k}$.

النقط $M_{0}$ و $M_{1}$ و ... و $M_{n-1}$ هي رؤوس مضلع منتظم (محدب) محاط بالدائرة المثلثية.

الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم

تعريف

ليكن $Z$ عددا عقديا غير منعدم، وليكن $n\in \mathbb {N}$ و $n\geq 2$ .

كل عدد عقدي $z$ يحقق $z^{n}=Z$ يُسمى جذرا من الرتبة $n$ للعدد $Z$.

مبرهنة

ليكن $Z$ عددا عقديا غير منعدم عمدته $\varphi$ : $Z=|Z|e^{i\varphi }$ ، وليكن $n\in \mathbb {N} -\{0,1\}$ .

الجذور من الرتبة $n$ للعدد $Z$ هي الأعداد العقدية : $z_{k}={\sqrt[{n}]{|Z|}}e^{\left({\frac {\varphi }{n}}+k{\frac {2\pi }{n}}\right)}$ حيث $k\in \mathbb {N}$ و $0\leq k\leq n-1$ .