الأعداد العقدية/المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول عقدي

المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول عقدي

الجذران المربعان لعدد عقدي غير منعدم

خاصية

كل عدد عقدي غير منعدم $Z$ يقبل جذرين مربعين متقابلين.

• إذا كان $Z=|Z|e^{i\varphi }$ ، فإن جذريه المربعين هما ${\sqrt {|Z|}}e^{i{\frac {\varphi }{2}}}$ و $-{\sqrt {|Z|}}e^{i{\frac {\varphi }{2}}}$
• إذا كان $z=a+ib$ حيث $a$ و $b$ حقيقيان، وكان $\alpha ={\frac {1}{2}}\left(a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)$ و $\beta ={\frac {1}{2}}\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)$ ، فإن الجذرين المربعين للعدد $Z$:
  • هما ${\sqrt {\alpha }}+i{\sqrt {\beta }}$ و $-{\sqrt {\alpha }}-i{\sqrt {\beta }}$ إذا كان $b>0$
  • وهما ${\sqrt {\alpha }}-i{\sqrt {\beta }}$ و $-{\sqrt {\alpha }}+i{\sqrt {\beta }}$ إذا كان $b<0$

حل المعادلة من الدرجة الثانية في ℂ

خاصية

لتكن $a$ و $b$ و $c$ أعدادا عقدية و $a\neq 0$ .

المعادلة $az^{2}+bz+c=0$ لها حلان في $\mathbb {C}$ هما $z_{1}={\frac {-b-\delta }{2a}}$ و $z_{2}={\frac {-b+\delta }{2a}}$ ،

حيث $\delta$ هو أحد الجذرين المربعين للمميز: $\Delta =b^{2}-4ac$

• إذا كان $\Delta \neq 0$ ، فإن : $z_{1}\neq z_{2}$
• إذا كان $\Delta =0$ ، فإن : $z_{1}=z_{2}=-{\frac {b}{2a}}$ ، ونقول في هذه الحالة إن المعادلة تقبل حلا مزدوجا هو العدد $-{\frac {b}{2a}}$

خاصية

• لتكن $a$ و $b$ و $c$ أعدادا عقدية و $a\neq 0$ .

الحلان $z_{1}$ و $z_{2}$ في $\mathbb {C}$ للمعادلة $az^{2}+bz+c=0$ يحققان: $z_{1}+z_{2}=-{\frac {b}{a}}$ و $z_{1}z_{2}={\frac {c}{a}}$ .

• ليكن $s$ و $p$ عددين عقديين ثابتين ومعلومين.

النظمة ${\begin{cases}z+t=s\\zt=p\end{cases}}$ في مجموعة الأعداد العقدية تقبل الزوجين $(z',z'')$ و $(z'',z')$ هما حلا المعادلة $X^{2}-sX+p=0$ في $\mathbb {C}$.

خاصية

نعتبر في $\mathbb {C}$ المعادلة $az^{2}+bz+c=0$ حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية و $a\neq 0$، وليكن $\Delta =b^{2}-4ac$ مميزها.

• إذا كان $\Delta >0$ ، فإن المعادلة تقبل حلين حقيقيين هما: ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ و ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ .
• إذا كان $\Delta =0$ ، فإن المعادلة لها حل وحيد هو ${\frac {-b}{2a}}$ .
• إذا كان $\Delta <0$ ، فإن المعادلة تقبل حلين عقديين مترافقين هما: ${\frac {-b-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}$ و ${\frac {-b+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}$ .