الاتصال/اتصال دالة في نقطة

اتصال دالة في نقطة

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

نقول إن $f$ متصلة في $a$ إذا كان : $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

إذا كانت الدالة $f$ غير متصلة في $a$ فإننا نقول إنها منقطعة في $a$

الاتصال على اليمين - الاتصال على اليسار

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال من النوع $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ متصلة على اليمين في $a$ إذا كان : $\mathop {\lim _{x\to a}} _{x>a}f(x)=f(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال من النوع $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ متصلة على اليسار في $a$ إذا كان : $\mathop {\lim _{x\to a}} _{x<a}f(x)=f(a)$

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

تكون $f$ متصلة في $a$ إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين وعلى اليسار في $a$

دالة الجزء الصحيح

تعريف

دالة الجزء الصحيح هي الدالة التي تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد الصحيح النسبي الوحيد $p$ الذي يحقق $p\leq x<p+1$

يُرمَزُ لصورة $x$ بهذه الدالة بالرمز $E(x)$

خاصية

• دالة الجزء الصحيح متصلة في كل عدد من $\mathbb {R} -\mathbb {Z}$
• دالة الجزء الصحيح متصلة على اليمين في كل عدد $k$ من $\mathbb {Z}$ وغير متصلة على اليسار في $k$

التمديد بالاتصال

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية و $D_{f}$ مجموعة تعريفها. وليكن $a$ عددا حقيقيا بحيث $a\notin D_{f}$

إذا كانت للدالة $f$ نهاية منتهية $\ell$ في العدد $a$ فإن الدالة $g$ المعرفة بما يلي ${\begin{cases}g(x)=f(x);x\neq a\\g(a)=\ell \end{cases}}$ متصلة في $a$

تعريف

الدالة $g$ تسمى التمديد بالاتصال للدالة $f$ في $a$