الاشتقاق/مشتقة دالة الجذر من الرتبة n

مشتقة دالة الجذر من الرتبة n

مشتقة الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$

خاصية

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$

الدالة $f:x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R} ^{+*}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $f'(x)={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

مشتقة الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$

خاصية

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)={\frac {1}{n}}u'(x).(u(x))^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {u'(x)}{n{\sqrt[{n}]{(u(x))^{n-1}}}}}$

مشتقات الدوال $x\mapsto x^{r}$ و $x\mapsto (u(x))^{r}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$

خاصية

ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.

• الدالة $x\mapsto x^{r}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R} ^{+*}$ ومشتقتها هي الدالة $x\mapsto rx^{r-1}$
• إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto (u(x))^{r}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)=r.u'(x).(u(x))^{r-1}$