التكامل/التكامل والترتيب

التكامل والترتيب

خاصية

لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على قطعة $[a,b]$ ($a<b$)

• إذا كانت $f$ موجبة على المجال $[a,b]$ فإن : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$
• إذا كان $f(x)\leq g(x)$ لكل $x$ من $[a,b]$ فإن : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

التكامل والقيمة المُطْلَقة

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، و $a$ و $b$ عنصرين من $I$ بحيث $a<b$ . لدينا :

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

القيمة المتوسطة لدالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a,b]$ ($a<b$). العدد الحقيقي :

$\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

يسمى القيمة المتوسطة للدالة $f$ على $[a,b]$

مبرهنة المتوسط

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a,b]$ ($a<b$)

يوجد على الأقل عدد حقيقي $c$ من $[a,b]$ بحيث : $f(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

ملاحظتان :

• إذا كان $f([a,b])=[m,M]$ وكانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $[a,b]$ فإن الصيغة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(c)$ تكافئ $F(b)-F(a)=(b-a)F'(c)$ وهي صيغة مبرهنة التزايدات المنتهية مطبقة على الدالة $F$
• في حالة $f$ موجبة على $[a,b]$ ، الصيغة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(c)$ تعني أن مساحة الحيز $\Delta =\{M(x,y)\;;\;a\leq x\leq b\,,0\leq y\leq f(x)\}$ هي مساحة المستطيل الذي بُعداه : $b-a$ و $\mu =f(c)$