التكامل/حساب الحجوم

حساب الحجوم

حجم مجسم في الفضاء

خاصية

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم.

ليكن $(S)$ مجسما محصورا بين مستويين معرفين على التوالي بالمعادلتين $z=a$ و $z=b$

نعتبر الدالة $t\mapsto {\mathcal {A}}(t)$ المعرفة على $[a,b]$ ، حيث ${\mathcal {A}}(t)$ هي مساحة مجموعة النقط $M(x,y,z)$ من المجسم $(S)$ بحيث $z=t$

إذا كانت الدالة ${\mathcal {A}}$ متصلة على $[a,b]$ ، فإن حجم $(S)$ هو : $\nu =\int _{a}^{b}{\mathcal {A}}(t)\,dt$ بوحدة قياس الحجم.

حجم مجسم مولد بدوران منحنى دالة حول محور الأفاصيل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\;[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد ممنظم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

حجم المجسم المُوَلَّد بدوران المنحنى $(C)$ دورة كاملة حول محور الأفاصيل هو : $\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}\,dx$ بوحدة قياس الحجم

حجم مجسم مولد بدوران منحنى دالة حول محور الأراتيب

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا على قطعة $(a<b)\;[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد ممنظم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

حجم المجسم المُوَلَّد بدوران المنحنى $(C)$ دورة كاملة حول محور الأراتيب هو : $V=\left|\int _{f(a)}^{f(b)}\pi (f^{-1}(t))^{2}\,dt\right|$ بوحدة قياس الحجم

وإذا كانت، بالإضافة إلى ذلك، $f$ قابلة للاشتقاق على $[a,b]$ فإن هذا الحجم هو : $V=\pi \int _{a}^{b}x^{2}|f'(x)|\,dx$