الدوال الأصلية

دالة أصلية لدالة على مجال

تعريف

لتكن $f$ و $F$ دالتين معرفتين على مجال $I$

نقول إن $F$ هي دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ إذا كانت $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ و $F'(x)=f(x)$ لكل $x$ من $I$

خاصية

كل دالة متصلة على مجال $I$ تقبل دالة أصلية على هذا المجال.

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$

إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ فإن الدوال اللأصلية للدالة $f$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto F(x)+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.
لكل $x_{0}$ من $I$ و $y_{0}$ من $\mathbb {R}$ ، توجد دالة أصلية وحيدة $G$ للدالة $f$ على المجال $I$ بحيث : $G(x_{0})=y_{0}$

الجدول التالي يُعطي الدوال الأصلية لبعض الدوال الاعتيادية على مجال $I$ حيث $c$ ثابتة حقيقية

الدوال الأصلية لبعض الدوال الاعتيادية
الدالة	الدوال الأصلية	المجال $I$
$x\mapsto 0$	$x\mapsto c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto a$	$x\mapsto ax+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto x^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{*})$	$x\mapsto {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto x^{n}\quad (n\in \mathbb {Z} ^{-*}\smallsetminus \{-1\})$	$x\mapsto {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$	$\mathbb {R} ^{+}$ أو $\mathbb {R} ^{-}$
$x\mapsto x^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ^{-*}\smallsetminus \{-1\})$	$x\mapsto {\frac {x^{r+1}}{r+1}}+c$	$\mathbb {R} ^{+*}$
$x\mapsto {\frac {1}{x^{2}}}$	$x\mapsto -{\frac {1}{x}}+c$	$\mathbb {R} ^{+}$ أو $\mathbb {R} ^{-}$
$x\mapsto {\frac {1}{\sqrt {x}}}$	$x\mapsto 2{\sqrt {x}}+c$	$\mathbb {R} ^{+*}$
$x\mapsto \cos x$	$x\mapsto \sin x+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto \sin x$	$x\mapsto -\cos x+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto \cos(ax+b)\quad (a\in \mathbb {R} ^{*})$	$x\mapsto {\frac {1}{a}}\sin(ax+b)+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto \sin(ax+b)\quad (a\in \mathbb {R} ^{*})$	$x\mapsto -{\frac {1}{a}}\cos(ax+b)+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto 1+\tan ^{2}{x}={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$	$x\mapsto \tan x+c$	$\left]-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[,(k\in \mathbb {Z} )$
$x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}$	$x\mapsto \arctan x+c$	$\mathbb {R}$
$x\mapsto {\frac {u'(x)}{1+(u(x))^{2}}}$	$x\mapsto \arctan(u(x))+c$	$D_{u'}$