حساب الاحتمالات/فرضية تساوي الاحتمالات

فرضية تساوي الاحتمالات

ليكن $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{n}\}$ كون إمكانيات تجربة عشوائية.

نُشير إلى عدد عناصر $\Omega$ بالرمز ${\text{Card}}\;\Omega$ ، أي: ${\text{Card}}\;\Omega =n$

ليكن $A$ حدثا ضمن $\Omega$ مكونا من $k$ إمكانية. نكتب أيضا ${\text{Card}}\;A=k$ ويُسمى "رئيسي $A$" وهو عدد عناصر $A$.

إذا كان $P$ احتمالا على $\Omega$ بحيث جميع الأحداث الابتدائية متساوية الاحتمال، فنقول إن فرضية تساوي الاحتمالات محققة.

هذا يعني أن: $P(\omega _{1})=P(\omega _{2})=\dots =P(\omega _{n})$

بما أن $P(\omega _{1})+P(\omega _{2})+\dots +P(\omega _{n})=1$ ، وأن حدود هذا المجموع متساوية، فإنه لكل $i$ من $\{1,\dots ,n\}$ يكون $nP(\omega _{i})=1$ إذن $P(\omega _{i})={\frac {1}{n}}$ .

بما أن $A$ حدث مكون من $k$ إمكانية واحتمال $A$ هو مجموع احتمالات الأحداث الابتدائية التي توجد ضمن $A$ فإن $P(A)=k.{\frac {1}{n}}$ أي أن $P(A)={\frac {{\text{Card}}\;A}{{\text{Card}}\;\Omega }}$

خاصية

إذا كانت جميع الأحداث الابتدائية متساوية الاحتمال في كون الإمكانيات $\Omega$ فإن احتمال كل حدث $A$ ضمن $\Omega$ هو:

$P(A)={\frac {{\text{Card}}\;A}{{\text{Card}}\;\Omega }}$ ، حيث ${\text{Card}}\;A$ هو عدد الإمكانيات التي تحقق $A$ و ${\text{Card}}\;\Omega$ هو عدد الإمكانيات الكُلِّية.