حساب الاحتمالات/القانون الحداني

القانون الحداني

تمهيد

نعتبر تجربة عشوائية مكونة من إعادة نفس الاختبار $n$ مرة ($n$ اختبارات مستقلة)، وليكن $A$ حدثا مرتبطا بهذا الاختبار، وليكن $p$ احتمال وقوع $A$.

نعلم أن احتمال تحقيق $A$ بالضبط $k$ مرة ($0\leq k\leq n$) هو $C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ (انظر فقرة استقلال الاختبارات).

ليكن المتغير العشوائي $X$ الذي يربط كل نتيجة لهذه التجربة بعدد المرات التي تحقق فيها الحدث $A$.

لدينا إذن $P(X=k)$ هو احتمال تحقيق $A$ بالضبط $k$ مرة.

نقول إن $X$ متغير عشوائي حداني (بالفرنسية: Binomiale، بالإنجليزية: Binomial) وسيطاه $n$ و $p$.

خاصيات

خاصية

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا حدانيا وسيطاه $n$ و $p$. لدينا:

$\forall k\in \{0,1,\dots ,n\},\;P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

خاصية

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا حدانيا وسيطاه $n$ و $p$.

الأمل الرياضي لـ $X$ هو: $\mathbb {E} (X)=np$

ومغايرته هي: $\mathbb {V} (X)=np(1-p)$

ملاحظة

نموذج القانون الحداني يتلخص فيما يلي:

نعتبر تجربة ذات إمكانيتين: $S$ نجاح (بالفرنسية: Succès، بالإنجليزية: Success) أو $E$ فشل (بالفرنسية: Échec، بالإنجليزية: Fail).

عند تكرار هذه التجربة $n$ مرة في ظروف مستقلة، فإن احتمال تحقيق النجاح $S$ بالضبط $k$ مرة هو $C_{n}^{k}[P(S)]^{k}[P(E)]^{n-k}$.