نهاية متتالية/متتالية نهايتها منتهية

متتالية نهايتها منتهية

تعريف

نقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هي عدد حقيقي $\ell$ إذا كان كل مجال مفتوح مركزه $\ell$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.

وبتعبير آخر : $\forall \epsilon >0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies |u_{n}-\ell |<\epsilon )$

ونكتب : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$ أو $\lim(u_{n})=\ell$

تعريف

• كل متتالية نهايتها عدد حقيقي تسمى متتالية متقاربة.
• كل متتالية غير متقاربة تسمى متتالية متباعدة.

تكون متتالية متباعدة إذا كانت نهايتها $+\infty$ أو $-\infty$ أو إذا كانت لا تقبل نهاية (طبعا عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$)

متتاليات اعتيادية نهايتها الصفر

خاصية

المتتاليات $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\geq 1}$ و $\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)_{n\geq 1}$ و $\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\geq 1}$ متقاربة ونهايتها الصفر.

وحدانية النهاية

خاصية

إذا كانت متتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة.

خاصية

إذا كانت متتالية متقاربة فإنها تكون محدودة.

ملاحظة : عكس هذه الخاصية غير صحيح، فالمتتالية $(u_{n})_{n}$ المعرفة بما يلي : $u_{n}=(-1)^{n}$ محدودة لكنها غير متقاربة.