نهاية متتالية/مصاديق التقارب

مصاديق التقارب

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $\ell$ عددا حقيقيا بحيث $|u_{n}-\ell |\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=0$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ و $(w_{n})$ ثلاث متتاليات عددية وليكن $\ell$ عددا حقيقيا بحيث $w_{n}\leq u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=\ell$ و $\lim _{n\to +\infty }w_{n}=\ell$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين بحيث $u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=+\infty$

وإذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=-\infty$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=-\infty$

الرتابة والتقارب

خاصية

• كل متتالية تزايدية ومكبورة هي متتالية متقاربة.
• كل متتالية تناقصية ومصغورة هي متتالية متقاربة.

ملاحظة : هذه الخاصية تبين فقط أن المتتالية متقاربة دون تحديد نهايتها.

خاصية

• كل متتالية تزايدية وغير مكبورة نهايتها $+\infty$
• كل متتالية تناقصية وغير مصغورة نهايتها $-\infty$

نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$

خاصية

• ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.
• إذا كان $r>0$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }n^{r}=+\infty$
• إذا كان $r<0$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }n^{r}=0$

أمثلة :

$\lim _{n\to +\infty }n^{-1/2}=0\quad ,\quad \lim _{n\to +\infty }n^{1/2}=+\infty$

نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q\in \mathbb {R} ^{*}$

خاصية

ليكن $q$ عددا حقيقيا غير منعدم.

• إذا كان $q>1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=+\infty$
• إذا كان $q=1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=1$
• إذا كان $-1<q<1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=0$
• إذا كان $q\leq -1$ فإن المتتالية $(q^{n})_{n}$ ليست لها نهاية

نهاية متتالية من نوع $u_{n+1}=f(u_{n})$

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مغلق $I$ بحيث $f(I)\subset I$ ، ولتكن $(u_{n})$ متتالية معرفة بما يلي : $u_{0}\in I$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n$ من $\mathbb {N}$

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة فإن نهايتها هي حل للمعادلة $f(x)=x$

نهاية متتالية من نوع $v_{n}=f(u_{n})$

خاصية

إذا كانت متتالية $(u_{n})$ متقاربة نهايتها $\ell$ وكانت دالة $f$ متصلة في $\ell$

فإن المتتالية $(v_{n})$ ، المعرفة بما يلي $v_{n}=f(u_{n})$ ، متقاربة ونهايتها $f(\ell )$